A New Local Reduced Basis Discontinuous Galerkin Approach for Heterogeneous Multiscale Problems

Inspired by the reduced basis approach and modern numerical multiscale methods, we present a new framework for an efficient treatment of heterogeneous multiscale problems. The new approach is based on the idea of considering heterogeneous multiscale problems as parametrized partial differential equations where the parameters are smooth functions. We then construct, in an offline phase, a suitable localized reduced basis that is used in an online phase to efficiently compute approximations of the multiscale problem by means of a Discontinuous Galerkin method on a coarse grid. We present our approach for elliptic multiscale problems and discuss an a posteriori error estimate that can be used in the construction process of the localized reduced basis. Numerical experiments are given to demonstrate the efficiency of the new approach. To cite this article : S. Kaulmann, M. Ohlberger, B. Haasdonk C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I (2011) Résumé Une nouvelle approche par bases réduites locale d’une méthode de Galerkin discontinue pour des problèmes hétérogènes multi-échelles. Inspiré par l’approche des bases réduites et les méthodes numériques modernes pour des problèmes multi-échelles, nous présentons un nouveau traitement efficace des problèmes hétérogènes multi-échelles. La nouvelle approche repose sur l’idée de considérer des problèmes hétérogènes multi-échelles comme des équations différentielles partielles paramétrisées, où les paramètres sont des fonctions lisses. Nous construisons alors dans une phase « offline » une base réduite localisée appropriée, utilisée dans une phase « online » pour calculer efficacement des approximations du problème multi-échelle par une méthode Galerkin discontinue sur un maillage grossier. Nous présentons notre nouvelle approche pour des problèmes elliptiques multi-échelles et discutons une estimation d’erreur à posteriori utilisée lors de la construction de la base réduite localisée. Des expériences numériques sont exposées pour démontrer la efficacité de la nouvelle approche. Pour citer cet article :.S. Kaulmann, M. Ohlberger, B. Haasdonk, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I (2011) Version française abrégée Dans les derniers années, les problèmes multi-échelles ont retenu une attention particulière dans la recherche mathématique appliquée. Un traitement numérique de ces problèmes est généralement coûteux et nécessite donc le développement de schémas de discrétisation efficaces. En outre, ces problèmes souvent être résolus à plusieurs reprises pour de nombreux paramètres. Des exemples de telles situations sont la conception, le contrôle, l’optimisation, les problèmes inverses, l’analyse d’incertitude et l’échantillonnage Email addresses: [email protected] (Sven Kaulmann), [email protected] (Mario Ohlberger), [email protected] (Bernard Haasdonk) Preprint submitted to the Académie des sciences 20 juin 2011 statistique. L’objectif principal de cette contribution est de rassembler des idées de l’approche des bases réduites et des méthodes numériques multi-échelles pour obtenir un nouveau cadre pour gérer efficacement les problèmes complexes dépendant de plusieurs paramètres. Nous présentons notre approche pour un modèle associé à la mécanique des fluides diphasiques. En particulier, nous considérons l’équation (1). Ici λ désigne une fonction lisse sur une échelle macro, k est censé varier sur une échelle micro, indiquée par << 1. La mobilité totale du fluide λ = λ(s(x, t)) dépend de la saturation inconnue de l’une des phases. Le cadre général est résumé comme suit. Trouver un petit nombre de fonctions représentantes pi, i = 1, . . . , N , tel que pour toutes les fonctions de paramètre λ possibles, il existe une fonction S lisse, éventuellement non-linéaire, avec ‖p(λ(x);x) − S(p1, . . . , pN )(x)‖ ≤ TOL, où ‖ · ‖ désigne une norme appropriée et TOL est une tolérance d’erreur donnée. La méthode suivante nous permet d’attendre ce but. Par définition (2) la forme bilinéaire b et la forme linéaire l que nous utilisons pour établir la formulation éléments finis (3) dans un maillage fin Th. Avec les solutions pi h de ce schéma pour paramètres differents λi nous construisons une base réduite ΦF pour chaque élément F d’un maillage grossier ZH et obtenons l’espace à WN , voir (4). Nous définissons un schéma grossier (7) dans ce espace avec l’utilisation d’une forme bilinéaire Galerkin discontinue (5) et le côté droit (6). Ensuite, par le théorème 3.1, nous introduisons une estimation de l’erreur entre la solution faible p (voir (2)) et la solution grossière pN (voir (7)). Les résultats numériques démontrent les possibilités de notre approche. Nous utilisons les fonctions données en (10) avec NS = 3 et (μ1, μ2, μ3) ∈ [0.1, 1.0]× [0.1, 0.5]× [0.1, 0.101] sur Ω = [0, 10], f = 0. Les valeurs sur le bord du domaine sont données par gD(x) = ∑Nλ n=1 μ λ n(11− x1), où les μi sont les paramètres de λ. Ici, en vertu de la forme de λ, Nλ est une fonction de NS et les μn sont des fonctions des μ1, . . . , μNS . Le table 1 nous montre quelles réduction d’ordre sont possible. À l’aide du maillage indiqué en figure 2 nous réduisons le temps nécessaire pour une simulation par un facteur, dépendant de la grandeur du maillage fin, de 4 à 40 (temps pour une simulation fine par rapport au temps pour une simulation grossière incluant la reconstruction d’une fonction sur un maillage fin), tandis que l’erreur relative moyenne additionnelle ‖pi h − p λi N ‖L2/‖p λi h ‖ pour 125 fonctions λi est inférieure à 8 · 10−4. En outre, dans la figure 1 nous voyons que les comportements à l’échelle macro aussi bien que les détails à l’échelle micro sont bien représentés.